En muchas ocasiones los datos económicos presentan efectos estacionales. Esto implica que existen oscilaciones estrictamente periódicas menores a un año (en su mayoría).

Estos puede suceder debido a causas físicas por las estaciones, e.g. consumo de calefacción en el invierno, o por causas sociales, o económicas, e.g. Aumento del consumo en Diciembre por fiestas.

Este componente estacional debe de ser tratado correctamente para hacer predicciones de la serie. En general esto puede hacerse de dos formas:

• Desestacionalizar la serie y trabajar con la serie resultante.
• Modelar la serie incluyendo el componente estacional.

En la practica muchas veces se encuentran series desestacionalizadas disponibles. Para hacer esto, por lo general, se considera uno de los siguientes modelos: \[\begin{align} X_t = T_t + C_t + S_t + I_t \\ X_t = T_t \times C_t \times S_t \times I_t \end{align}\] donde \(X_t\) es la series observada, \(T_t\) es la tendencia de largo plazo, \(C_t\) es el ciclo económico, \(S_t\) es el componente estacional, e \(I_t\) las variaciones residuales.

El modelo más sencillo para obtener el componente estacional, asumiendo una serie mensual, esta dado por: \[\begin{equation} S_t = \sum_{j=1}^{12} \alpha_j d_{jt} + u_t, \quad d_{jt} \left\{\begin{matrix} 1 & \text{si } j=k\pm 12n, k=0,1,2,\dots 11\\ 0 & \text{En cualquier otro caso} \end{matrix}\right. \end{equation}\] donde \(\sum_{j=1}^{12} \alpha_j = 0\) y \(u_t\) es ruido blanco. \(\alpha_j\) son los efectos estacionales y \(d_{jt}\) son dummies

También se usan modelos con senos y cosenos de la siguiente forma, \[\begin{equation}\label{seas} S_t = \sum_{j=1}^{6} [\alpha_j \cos (\lambda_jt) + \beta_j \sin (\lambda_jt) ] \end{equation}\]

donde \(\lambda_j = \frac{2\pi j}{12}\), para \(j=1,2,\dots,6\) y \(\beta_6 = 0\). Los \(\lambda_j\) son conocidos como frecuencias estacionales, con \(j\) correspondiente a ciclos de \(12,6,4,3,2.4,2\) meses respectivamente

Los modelos anteriores asumen estacionalidad deterministica. Como cuando vimos tendencia también podemos tener estacionalidad estocástica.

Para esto los \(\alpha_j\) de la ecuación se especifican como variables aleatorias y no como constantes.

Este modelo puede ser escrito como, \[\begin{equation} S_t = S_{t-12} + u_t \end{equation}\]

O, usando el operador de rezagos \((1 - L^{12})S_t = u_t\) donde \(u_t\) es ruido blanco. Sujeto a la restricción, \(\sum_{j=0}^{11} S_{t-j} = u_t\)

Así el modelo estacional esta dado por, \[\begin{equation}\label{x11} \sum_{j=0}^{s-1} S_{t-j} = u_t \end{equation}\]

Una importante variación a este modelo fue propuesta por Hillmer y Tiao (1982), \[\begin{equation} \sum_{j=0}^{s-1} S_{t-j} = \eta_s(L)b_t \end{equation}\] donde \(\eta_s(L)\) es una media móvil de orden mínimo \(s-1\) y \(b_t\) es ruido blanco \(\sim (0, \sigma^2_b)\). Este componente MA permite que la estacionalidad cambie a través del tiempo.

El problema radica entonces en encontrar el componente \(S_t\).Para esto se hace uso de diversos filtros basados en el modelo escogido para \(X_t\).

Los dos principales filtros usados en la practica son el método semi-param'{e}trico X-11-ARIMA propuesto y utilizado por statistics Canada y el X-12-ARIMA usado por el U.S. Bureau of the census.

Las series desestacionalizadas encontradas en el DANE y el Banco de la Republica usan el método X-11-ARIMA. Usar series desestacionalizadas en vez de la serie original tiene la ventaja que permite encontrar relaciones que no se ven afectadas por factores exógenos como el clima o costumbres sociales.

Sin embargo, la desventaja radica en que solose pueden realizar predicciones de las variables modificadas y no de la variable original.

Modelos SARIMA

Si queremos modelar la serie original, entonces hacemos uso de los modelos SARIMA (Seasonal ARIMA).

Definimos a \(s\) como el periodo estacional, e.g. para datos mensuales sería 12, trimestrales 4, etc. Un proceso estacional puro implica que solo existen relaciones entre las observaciones cada \(s\) periodos o múltiplos de \(s\)

Modelo SAR(1)

Un modelo AR(1) estacional puro o SAR(1) es definido como, \[\begin{equation} w_t = \varphi w_{t-s} + \varepsilon_t \end{equation}\]

Al igual que en el caso del AR(1) la estacionariedad requiere que \(|\varphi|<1\)

La media del proceso es facil ver que es \(\mu=0\)

La varianza es, \[\begin{align*} \gamma_0 & = E[(\varphi w_{t-s} + \varepsilon_t)^2] \\ & = \varphi^2 \gamma_0 + \sigma_{\varepsilon}^2 \\ & = \frac{\sigma_{\varepsilon}^2}{1 - \varphi^2} \end{align*}\]

Las auto-covarianzas son, \[\begin{align*} \gamma_j & = E[(\varphi w_{t-s} + \varepsilon_t)w_{t-j}] \\ & = \varphi \gamma_{s-j} \end{align*}\]

Noten que si \(s=j\) entonces \(\gamma_s=\frac{\varphi_s}{1-\varphi_s^2} \sigma_{\varepsilon}^2\), para \(2s,3s,\dots\) \[\begin{equation} \gamma_j = \frac{\varphi^{j/s}}{1-\varphi^2}\sigma_{\varepsilon}^2, \quad j=s,2s,3s,\dots \end{equation}\]

y \(\gamma_j=0\) para otros casos.

Y finalmente las autocorrelaciones, \[\begin{equation} \rho_j = \varphi^{j/s}, \quad j=s,2s,3s,\dots \end{equation}\]

y \(\rho_j=0\) para otros casos.

Como pueden ver los resultados para el SAR(1) son similares a lo visto para el AR(1) solo que con periodicidad \(s\)

Modelo SARIMA(P,D,Q)

Ahora podemos escribir el modelo ARIMA estacional puro, SARIMA(P,D,Q) como: \[\begin{equation} \varphi(L^s)(1-L^s)^D x_t = \vartheta (L^s) \varepsilon_t \end{equation}\]

Veamos como lucen los FACE y FACPE de estos modelos.

Datos trimestrales, \(w_t = 0.8 w_{t-4} + \varepsilon_t\)

Datos trimestrales, \(w_t = \varepsilon_t - 0.8 \varepsilon_{t-4}\)

Datos trimestrales, \(w_t = 0.5 w_{t-4} + \varepsilon_t - 0.2 \varepsilon_{t-4}\)

Hasta ahora nos hemos referido a los modelos como modelos estacionales puros.

Esto es debido a que no presentan efectos ARIMA a parte de los efectos estacionales. Sin embargo, en muchas ocasiones tenemos ambos tipos de efectos, por lo cual es necesario examinar como lidiar con esto.

Modelos AR(1) \(\times\) SAR(1)

Sea el modelo AR(1) \(\times\) SAR(1), definido como: \[\begin{equation} (1-\phi L)(1-\varphi L^s) w_t = \varepsilon_t \end{equation}\]

Desarrollando el modelo, obtenemos: \[\begin{equation} (1 -\phi L -\varphi L^s + \phi \varphi L^{s+1}) w_t = \varepsilon_t \end{equation}\]

Así, \[\begin{equation} w_t = \phi w_{t-1} + \varphi w_{t-s} - \phi \varphi w_{t-s-1} + \varepsilon_t \end{equation}\]

Como vemos el proceso ahora no solo se compone del rezago del Ar y el SAR si no también de una combinación de ambos. Estos son conocidos como parámetros satélites.

Finalmente, podríamos expresar este modelo como \[\begin{equation} w_t = \phi_1 w_{t-1} + \phi_s w_{t-s} - \phi_{s+1} w_{t-s-1} + \varepsilon_t \end{equation}\]

Así podríamos calcular los momentos como un AR(s+1) donde \(\phi_1 = \phi\), \(\phi_s=\varphi\), \(\phi_{s+1}=\phi \varphi\) y \(\phi_j=0\) en todo otro caso.

Modelos ARMA(p,q) \(\times\) SARMA(P,Q)

El modelo ARMA(p,q) \(\times\) SARMA(P,Q), usando el operador de rezagos, \[\begin{equation} \phi(L)\varphi(L^s) w_t = \theta(L)\vartheta(L^s)\varepsilon_t \end{equation}\]

De nuevo es un proceso multiplicativo en el cual tenemos los efectos ARMA, SARMA y combinaciones de ambos. Este entonces se puede expresar en términos de un ARMA(Ps+p,Qs+q) con restricciones

Modelos SARIMA(P,D,Q)

Hemos estudiado la diferenciación de series en los modelos ARIMA. Cuando tenemos datos estacionales, debemos utilizar la diferencia estacional de ordern \(s\), \(\Delta_s x_T\),

\[\begin{equation} \Delta_s x_t = x_t- x_{t-s} \end{equation}\]

Para una serie mensual le diferencia estacional da el cambio de Enero a Enero, Febrero a Febrero, etc. Si es trimestral da elcambio entre el Trimestre 1 del año anterior y este, etc.

Así, para una serie de tamaño T, la diferencia estacional contiene \(T-s\) valores.